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DIVULGAÇÃO

O mundo em dimensões fracionárias !

O que há de comum entre nossos pulmões, o concreto high-tech e certos paredões anti-ruído colocados nas laterais de algumas estradas? Resposta: "a esponja de Menger". Trata-se de um conceito matemático, oriundo da imaginação fecunda de um certo Karl Menger (1902 - 1985), matemático americano de origem austríaca. Sua forma não deixa de trazer à memória, aquela de seu homônimo francês ménager: um cubo aberto, transpassado por uma multidão de poros, todos conectados uns aos outros. Uma curiosidade nascida no início do século, que atualmente inspira pneumologistas, construtores de automóveis e ainda empresas de construção. Tentar desvendar a origem desse "revestimento" poroso parece revelar-se como uma pesquisa do impossível. Poder-se-ia obter uma superfície infinita em um volume finito? Sim, respondeu o matemático vienense.




Karl Menger (1902 - 1985)


Quando se considera um cubo, a superfície que lhe é associada é aquela dos seis lados que o compõem. Para um volume maior, superfície mais extensa, o argumento parece claro. Como aumentar um sem tocar o outro? Karl Menger propõe uma receita infalível: se se divide cada uma das arestas em três partes iguais, cada face será formada por um tabuleiro de nove quadrados. Comecemos por esvaziar o do meio. Juntando-se as paredes dessa parte esvaziada, a superfície da estrutura é maior que aquela do cubo de origem, do que se depreende que aumentamos a superfície sem fazer variar o volume... Mas, continuemos a operação: cada um dos oito quadrados restantes é dividido em um minúsculo tabuleiro de nove, cuja figura central é novamente esvaziada... e, assim por diante, até que se atinjam porções microscópicas.

Em função deste "cavar" no volume inicial, a superfície não cessa de aumentar, por certo de uma quantidade cada vez menor, mas... sem qualquer limite. Finalmente, chegasse a uma renda tridimensional. A dimensão de tal objeto não pode ser um número inteiro (1, 2 ou 3), ela está compreendida entre dois e três... Do mesmo modo, o achado de Menger, investigado amplamente, acusa uma dimensão de 2,7. No início dos anos 1970, Benoit Mandelbrot, matemático francês, de origem polonesa, confere uma nova dimensão a essas diferentes abordagens, integrando-as em uma teoria global: a teoria dos fractais (do latim fractus, quebrado, partido). Estes, abundantes na natureza, desde a estrutura em dupla hélice do DNA até as montanhas ou ainda a costa natural da Bretanha, uma linha de seda, uma nuvem, um rio ou a divisão das galáxias. Além disso, esses objetos apresentam uma outra particularidade: sua auto-similaridade.




Benoit Mandelbrot, matemático francês, de origem polonesa.
Teoria dos Fractais


Cada parte tem uma estrutura semelhante àquela do conjunto, exatamente como se uma divisão representasse, em uma escala ainda menor, a totalidade. A couve-flor é uma boa ilustração para o fenômeno. As trocas entre dois meios biológicos separados por uma membrana são igualmente condicionadas pela superfície de contato. Começa então a segunda vida dos fractais: os físicos se apropriam deles para inventar objetos do quotidiano, melhorar o rendimento de um grande número deles e compreender o funcionamento de certos órgãos humanos como os pulmões. Os alvéolos pulmonares são o exemplo típico de uma estrutura fractal. Eles representam uma grande superfície, num volume limitado: estudando as leis da difusão através de uma superfície igualmente irregular, a equipe tenta compreender a oxigenação do sangue.




Couve-Flor Fractal






Exemplo de uma estrutura fractal


Outra aplicação extraordinária: os arranha-céus. Torres de quinhentos metros de altura poderão ser erigidas, graças a um cimento de estrutura fractal, imaginado no seio do laboratório EMC, por Jean-Pierre Korb, e desenvolvido pelo grupo francês Ciments Lafarge. "Um concreto tradicional tem grãos de diferentes tamanhos e pode suportar 30 MPa, ou seja: o peso de três milhões de quilos por metro quadrado. Um critério que determina a espessura de uma ponte, por exemplo", precisa o pesquisador. O concreto, chamado "pó reativo" - a última novidade -, pode resistir a mais de dez vezes essa carga... Qual o segredo desse material hiper-resistente? Sua estrutura fractal: os grãos que o compõem têm todos o mesmo tamanho, o que lhe confere a propriedade de apresentar a mesma forma em diferentes escalas. Com esse concreto high-tech, colocado em obras de arte finas como lâminas de aço estendidas sobre um vão, é permitida a construção de edifícios com alturas dez vezes superiores àquelas dos atuais. Os fractais continuam a instigar a imaginação de matemáticos e físicos.

Mais informações podem ser obtidas no site do Express no endereço http://www.lexpress.fr, consultado em novembro de 2004. (Tradução - MIA)

Nota do Managing Editor: As figuras apresentadas não fazem parte do texto original. Foram obtidas através de consulta no site http://www.google.com.

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